RDM (résistance des matériaux)

RESISTANCE DES MATERIAUX

INTRODUCTION - HYPOTHESES

Pour effectuer un calcul de RDM, il est nécessaire de connaître les actions mécaniques exercées sur

le mécanisme (actions déterminées dans l’étude de dynamique) et les matériaux utilisés.
L’étude de RDM va permettre de définir les sollicitations et les contraintes qui en résultent. A l’aide
des caractéristiques des matériaux (propriétés mécaniques), nous allons pouvoir en déduire les déformations
du matériau, et dans les cas extrêmes, sa rupture.
La résistance des matériaux n’étudie que des solides de formes simples : les « poutres ». Bien souvent, il est possible de modéliser des solides par une poutre, à la condition que ceux-ci respectent certaines hypothèses. L’objet de ce cours est de présenter les hypothèses de la RDM, préalable indispensable à l’étude.
La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de
transmissions, bâtiments, diverses pièces mécaniques…) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu’ils supportent les charges qu’ils subissent, dans des conditions de sécurité satisfaisantes
et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux…) . Son domaine d’application
étant très large et les situations rencontrées nombreuses et variées, il est nécessaire de mettre en place
des hypothèses simplificatrices dans le but de standardiser les cas d’étude.
La photo ci-dessous représente un magnifique chariot élévateur d’un domaine viticole d’un village bourguignon (commençant par un C et finissant par un S…), mondialement connu pour ses vins blancs. Ce chariot élévateur est destiné à divers travaux sur l’exploitation, et en fonction de son utilisation, nous nous intéresserons plus particulièrement aux fourches de ce chariot.

3.1 Le matériau

3.1.1 Continuité de la matière

Lorsqu’on regarde au microscope la coupe d’une pièce en métal, on voit généralement une structure
fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont
très petites par rapport aux dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées. On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu.
3.1.2 Homogénéité
On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points. Cela est à peu près
vérifié pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que cette hypothèse n’est qu’une grossière
approximation pour les matériaux tels que le bois ou le béton.
3.1.3 Isotropie
On admet que les matériaux étudiés ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothèse est loin de la réalité pour le bois et les matériaux composites par exemple.
3.2 La géométrie
Les seuls solides que nous étudierons seront du type poutre (solide idéal du point de vue de la RDM :
solide défini par sa ligne moyenne et sa section droite). La poutre est un solide dont la longueur est prépondérante devant les autres dimensions transversales.

Une poutre est définie par :

*  sa ligne moyenne (ligne droite ou ligne courbe à grand rayon de courbure, sur laquelle se trouve le barycentre G des sections droites). Celle-ci est le plus souvent rectiligne ;

*  sa section droite (section qui engendre la poutre, constante et de centre de surface G). Celle-ci est enprincipe constante et son centre de surface est sur la ligne moyenne.

Bien souvent, les poutres étudiées ne remplissent pas ces conditions. Les relations établies en tenant

compte de ces hypothèses ne s’appliquent pas parfaitement, d’où la nécessité d’introduire un coefficient de
sécurité dans les calculs de dimensionnement.

Les forces extérieures appliquées à la poutre (P) seront situées soit dans le plan de symétrie (PS),

soit symétriquement par rapport au plan de symétrie.

En RDM, il n’est pas possible de remplacer un système de forces par un système équivalent du point

de vue de l’équilibre car les effets physiques (déformations, contraintes…) sont différents.
Dans les deux cas, la poutre est en équilibre, mais par contre les déformations sont totalement
différentes.
On fait également les approximations suivantes :
*   les contacts de la poutre et du milieu extérieur s’effectuent au niveau de la ligne moyenne ;
*   les supports des forces représentant les actions de contact ne sont pas déplacés après déformation.
Reprenons le cas de la fourche du chariot élévateur (toujours aussi magnifique) :

On distingue les actions à distance et les actions de contact.

Actions à distance : poids, magnétisme…


Actions de contact : charges concentrées en un point ou charges réparties.

Charges concentrées en un point

Dans le cas de la fourche du chariot élévateur :

Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot élévateur.Charge uniformément répartie



Données du problème :


*  le chariot transporte un fût de vin de Chablis Grand Cru les Clos 2000 ;
*  le fût contient 228 litres ;


Remarque : c’est malheureux à dire, mais pour faire le calcul, on assimilera la densité de ce divin breuvage à celle de l’eau…
La masse totale M embarquée sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot élévateur est donc :
M = 228 x 1 = 228 kg


Le poids P s’exerçant sur une fourche est:  P= (228 x10) : 2 
P =  1140 N

L’intensité de la charge concentrée sur une fourche est alors :
P = 1140 N
Remarque : N ( Newton c'est celui qui a reçu la pomme sur la tête et qui a hurlé EUREKA!)
 

CHARGE REPARTIE



Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot élévateur.
Données du problème :
*   le chariot transporte une palette de cartons de vin de Chablis Grand Cru les Clos 1998
(cartons « export » de 6 bouteilles) ;
*   une bouteille (de 75cl) pèse environ 1.3kg ;
*   la palette en bois « EURO » pèse environ 20kg ;
*  la palette est constituée de 4 rangs de 13 cartons chacun ;
*   le poids des cartons (emballage) est négligé.


Calculer la charge répartie s’exerçant sur une fourche.
Remarque : la résistance des fourches dépend directement de la géométrie et la section  des fourches, déduites du calcul de la charge embarquée. Au prix des bouteilles transportées, il vaut mieux ne pas se tromper dans le calcul…
La masse totale M embarquée sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot élévateur est
donc :


M = [(6 x1.3) x 13] x 4 + 20 = 426 kg
Le poids P s’exerçant sur une fourche est P = (426 x 10 ) : 2 =  2130 N
L’intensité de la charge répartie sur une fourche est alors : p =  2130 : 1.5 = 1420 N /m
Dans ce cas, p est appelé « densité linéique de force ». C’est par exemple le poids au mètre des profilés du commerce (unité : N/m)
On a : F = p × l
Exemple : une poutre de longueur totale l = 2.5 m et de poids total P = 3750 N est soumise à une charge
répartie de :
p = 3750 : 2.5 =  1500 N /m